Naukowcy próbują znaleźć praktyczne zastosowanie dla nieskończoności matematycznych w fizycznym świecie
Autor: Marcin Kozera (2020-01-22 )
Uczeni mają potężny problem z pogodzeniem fizyki i matematyki. W porównaniu ze strukturami matematycznymi, zbiór obiektów fizycznych ma w zasadzie wielkość zerową. Trudno jest bowiem jakkolwiek zestawiać ze sobą nieskończoność i skończoność. Choć liczby występujące w naukach fizycznych są niewyobrażalnie duże z perspektywy codziennego życia zwykłych ludzi, to jednocześnie są zatrważająco małe w konfrontacji z abstrakcyjnymi tworami matematyki.
Podstawowym działem matematyki zajmującym się pojęciem nieskończoności jest tak zwana „teoria mnogości” bądź „teoria zbiorów”. Zapoczątkował ją niemiecki matematyk Georg Cantor, który dokonując rewolucyjnego odkrycia pokazał światu, że może istnieć nieskończona hierarchia nieskończoności, którą ochrzcił mianem „hierarchii alefów”.
Od czasów Cantora wiemy więc, że nie istnieje największa nieskończoność. Nie tylko jest nieskończenie wiele nieskończoności, ale ta nieskończoność wszystkich nieskończoności (z których każda kolejna jest nieskończenie większa od poprzedniej) jest większa niż wszystkie nieskończoności w ramach tej hierarchii. Nie można więc za pomocą którejkolwiek z nich zdefiniować wielkości całego zbioru nieskończoności.
Wszystkie operacje matematyczne związane z wielkościami nieskończonymi są dokonywane w oparciu o aksjomatykę Zermela-Fraenkla połączoną z „aksjomatem wyboru”. W skrócie określa się ją jako „ZFC”.
Tylko nieliczni naukowcy dopuszczają możliwość, iż światy fizyki i matematyki mogą się ze sobą zbiegać. Frank Tipler zauważa, że fizyka zakłada, iż Wszechświat może składać się ze zbioru cząstek elementarnych równego mocy zbioru liczb rzeczywistych, zwanego „kontinuum”. Zastanawia się także nad tym czy do opisu natury Kosmosu wymagana jest jakaś wyższa nieskończoność.
Problem polega na tym, iż nie wiadomo dokładnie jak duży jest zbiór liczb rzeczywistych. Sami matematycy nie są pewni, w którym miejscu hierarchii matematycznych nieskończoności go umieścić. Zbiór ten jest co najmniej tak duży jak alef 1 – nieskończoność nieskończenie większa od nieskończonego zbioru liczb naturalnych. Kurt Gödel uważał, że „kontinuum” ma moc alef 2. Podobnie sądzi Hugh Woodin. Niewykluczone jednak, że moc zbioru liczb rzeczywistych jest znacznie większa, być może nawet tak wielka jak cała nieskończona hierarchia nieskończoności – określana przez Cantora jako (Omega – Ω), którą nazywał on również Absolutną Nieskończonością. Właśnie ten punkt widzenia podziela wspomniany Frank Tipler, który w jednej ze swych prac napisał: „Moja intuicja jest taka sama, jak Paula Cohena: że kontinuum jest większe niż którykolwiek z alefów. Dla mnie, kontinuum odgrywa taką samą rolę jak Absolutna Nieskończoność Cantora”.
Tak więc od strony teoretycznej przynajmniej niektórzy naukowcy są skłonni przyjąć założenie, iż rzeczywistość fizyczna przepełniona jest nieskończonościami różnych rozmiarów. Zapewne wielu osobom takie założenie nie wystarcza, ponieważ nie jest poparte powtarzalnymi eksperymentami, które da się zweryfikować.
Czy są więc jakiekolwiek szanse na to, że kiedyś ujrzymy praktyczny wymiar połączenia fizyki z tak wyrafinowaną matematyką? Okazuje się, że choć są niewielkie, to jednak są.
Kurt Gödel wykazał w swoich słynnych twierdzeniach, że każdy system aksjomatyczny posiada luki, których nie da się wypełnić. Wypełnienie ich poprzez stworzenie silniejszego systemu przyniosłoby bowiem tylko nowe stwierdzenia, których nie można udowodnić bez stworzenia jeszcze silniejszego systemu i tak dalej, w nieskończoność. Matematycy zajmujący się teorią mnogości, mogą konstruować dowody przy użyciu tzw. „dużych liczb kardynalnych”. Są to nieskończoności tak wielkie, że nie mieszczą się nawet w hierarchii alefów Cantora i nie można ich udowodnić za pomocą aksjomatyki „ZFC”. Większość badaczy wolałaby nigdy nie burzyć muru oddzielającego nieskończoności od reszty matematyki. Odmiennego zdania jest jednak Harvey Friedman. Przez ostatnie 50 lat szukał nowej teorii, która wprowadziłaby „naturalne” sposoby użycia twierdzenia o niezupełności Gödla oraz „dużych liczb kardynalnych”, w codziennej pracy badaczy skupiających się do tej pory wyłącznie na działaniach matematyki odrzucającej nieskończoności. Friedman udowodnił, że dla dowolnego zestawu w zbiorze liczby wymiernych (od trzech do dowolnej liczby wymiarów) istnieje maksymalna emulacja z symetrią między określonymi parami punktów. Aby udowodnić to twierdzenie i zidentyfikować punkty, w których się utrzymuje, musiał polegać na systemie silniejszym niż aksjomatyka „ZFC”. Takiego systemu nie można obalić ani udowodnić w „ZFC”. Jego teoria logicznie wynika ze spójności „dużych liczb kardynalnych”. Aby wykazać, iż nie można jej udowodnić w „ZFC”, posłużył się logiką eksplozywną, w której prawdziwość każdego stwierdzenia można wykazać ze sprzeczności. Friedman zaczął od założenia, że może więc udowodnić swoje twierdzenie w „ZFC”, a następnie skonstruował z niego układ obiektów, w których obowiązuje aksjomatyka „ZFC”. Oznaczałoby to, że jeśli jego twierdzenie jest prawdziwe, to „ZFC” jest w stanie udowodnić swoją niesprzeczność. Kłopot w tym, że drugie twierdzenie o niezupełności Gödla pokazuje, że aksjomatyka „ZFC” nie może tego zrobić. Zatem tego twierdzenia również nie można udowodnić w „ZFC”. Friedman pracuje nad rozszerzeniem swojej teorii na inne typy symetrii, inne definicje oraz inne typy obiektów. Najbardziej zależy mu na zrozumieniu wpływu jaki „duże liczby kardynalne” wywierają na skończone zestawy liczb całkowitych. Próbuje więc pokazać, że skończone zestawy obiektów matematycznych są w sposób konieczny powiązane z nieskończoną hierarchią nieskończoności oraz z twierdzeniami Gödla. To oznacza, że fizyczny opis wielkości skończonych na bardzo głębokim poziomie również może być z nimi powiązany.
Czy są jakieś inne propozycje łączące nieskończoność z fizycznym wymiarem rzeczywistości? Tak. Kolejna dotyczy słynnego paradoksu Banacha-Tarskiego. Polega on na tym, że korzystając z „aksjomatu wyboru” można zwykłą trójwymiarową kulę „rozciąć” na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach, jak promień kuli wyjściowej.
Interesujące są zwłaszcza pewne warianty tego twierdzenia. Otóż każdą z dwóch magicznie stworzonych kulek można podzielić na zestawy punktowe, które można przestawić, aby utworzyć cztery kule, osiem, szesnaście, itd. Proces ten można kontynuować, aby uzyskać tyle kulek, ile się chce. W jeszcze bardziej szalonym wariancie maleńką kulę można pociąć na zestawy punktowe, które poprzez rekombinację, stworzą kulę dowolnej wielkości - ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których można złożyć kulę wielkości Słońca. Co jeszcze dziwniejsze, oba obiekty mogą mieć dowolny rozmiar lub kształt. Gdyby ten paradoks miał zastosowanie w świecie fizycznym komara lub jabłko można by było przekształcić np. w słonia, można by dowolnie pomnożyć złoto tego świata, żywność lub cokolwiek innego. Nie występuje tu żadna sprzeczność, ponieważ kawałki podziału są niemierzalne i według obecnej wiedzy podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym. Póki co z wariantami paradoksu Banacha-Tarskiego mamy do czynienia wyłącznie w hierarchii alefów Cantora.
Co ciekawe jednak trzech naukowców poważnie spekuluje na temat możliwych wpływów paradoksu Banacha-Tarskiego (BT) na fizyczną rzeczywistość Wszechświata. Dwaj amerykańscy fizycy, Roger S. Jones i Bruno Augenstein, przypuszczają, że paradoks BT może odgrywać rolę w zachowaniu hadronów! W jaki bowiem sposób mion może być dokładnie taki jak elektron, skoro jest większy, cięższy i krótkotrwały? Czy elektron został powiększony przez coś podobnego do paradoksu BT? Trzecim naukowcem jest astrofizyk Mohamed El Naschie. Zastanawia się on nad tym czy paradoks BT mógł doprowadzić do Wielkiego Wybuchu. Jeśli Wszechświat przestanie się kiedyś rozszerzać i zacznie się kurczyć, być może będzie wtedy działała kompresja podobna właśnie do paradoksu Banacha-Tarskiego.
Zdaniem Davida Deutscha jest możliwe zbudowanie generatora rzeczywistości wirtualnej, którego repertuar obejmuje każde fizycznie możliwe środowisko, a zestaw wszystkich zachowań i odpowiedzi tego jednego generatora, będzie dokładnie odzwierciedlał zestaw wszystkich zachowań i odpowiedzi wszystkich innych fizycznie możliwych obiektów
i procesów.
Nie jest to jednak zbiór wszystkich logicznie możliwych środowisk. Taki zbiór jest tak duży jak klasa wszystkich zbiorów, która jest większa niż jakikolwiek zbiór nieskończony, a zatem nie ma takiej nieskończoności, która byłaby w stanie określić, ile dokładnie jest logicznie możliwych środowisk, których taki generator nie będzie w stanie nigdy wygenerować. Chyba, że jakiś geniusz w przyszłości wpadnie na sposób jak to zrobić, czego też nie można wykluczyć.
To w pewnym sensie przerażające, jak wiele jest rzeczy na które nie pozwalają nam obecne prawa fizyki Wszechświata, który zamieszkujemy. Ostatnie badania pokazują jednak, że stałe fizyczne do tej pory uważane za niezmienne, jednak mogą się zmieniać. I tak według zwolenników teorii strun, gdyby okazało się, że stała struktury subtelnej, która ma niezwykłe znaczenie dla architektury i funkcjonowania Wszechświata, rzeczywiście jest (a jest) odmienna w różnych jego rejonach, byłby to argument, iż tak zwane wyższe wymiary istnieją, choć nie możemy ich jeszcze badać za pomocą przyrządów skonstruowanych na Ziemi.
A to, co dzieje się w tych wyższych wymiarach może nas przybliżać do odpowiedzi na pytanie czy na jakimś poziomie rzeczywistości, matematyka i logika stają się fundamentami dla wszystkich fizycznym obiektów.
Trzeba jeszcze rozważyć jedną bardzo ważną kwestię: przeniesienie ludzkich świadomości do środowiska wirtualnego.
Julian Togelius uważa, że w przyszłości takie gry jak Skyrim czy GTA nie będą posiadały ustalonych misji, narracji czy celów. Zamiast tego silniki będą korzystać z proceduralnie generowanych elementów, sztucznej inteligencji i kreatywnych technik komputerowych do dynamicznego i nieustannego budowania wrażeń dostosowanych specjalnie dla każdego gracza. W takim nieskończonym świecie możliwe stanie się przejechanie samochodem kilometrów w dowolnym kierunku i znalezienie miasta zbudowanego właśnie przez grę, wyłącznie dla nas. Dodatkowo miasto to będzie zaludnione przez postacie zachowujące się jak prawdziwi ludzie, a nie jak wirtualne automaty. Interakcje z tymi postaciami będą tworzyły opowieści. Proceduralne generowanie nowych środowisk jest względnie proste. Wiele gotowych rozwiązań oferuje indywidualne rozwiązania tych problemów. Wystarczy je zintegrować i zaadaptować.
Jeśli mózg biologiczny, w swojej fizycznej formie zostanie zastąpiony przez kilka miliardów linii kodu, być może uda nam się odnaleźć te linie kodu, które bezpośrednio odpowiadają za wszelkie destrukcyjne emocje, które będzie można dowolnie edytować, z całkowitym ich usunięciem włącznie. Ludzie zrozumieją, że wirtualny świat, do którego zostaną przeniesione ich świadomości może zaoferować doświadczenia, które byłyby niemożliwe w prawdziwym, fizycznym świecie. Będzie to nie tylko rzeczywistość z wizji Togeliusa, ale również miejsce mogące zawierać dowolną liczbę wymiarów w przestrzeni i czasie. Jeśli udałoby się zamieszkać w świecie podobnym do takich gier jak „Harry Potter”, to wszystkie magiczne osiągnięcia z gry staną się w całości dostępne i realne, zupełnie tak, jakby były dokonywane naprawdę, bowiem w istocie żyjąc w takim świecie będziemy mogli dokonywać rzeczy fizycznie niemożliwych. Wachlarz możliwości będzie zawierał również zdolność dowolnego przenoszenia się pomiędzy różnymi rzeczywistościami. Do tego stanie się możliwe stworzenie wszechświatowego supermózgu będącego zbiorem wszelkich kombinacji mądrości, doświadczenia i pamięci wszystkich istot, które zamieszkają w takim cyber-uniwersum.
Jak twierdzi Stephen Wolfram, z pewnością jest możliwe tworzenie symulacji innych Kosmosów. W obliczeniowym „Wszechświecie możliwych programów” możemy łatwo stworzyć nieskończoną liczbę możliwych wszechświatów. Dla nas jako istot fizycznych, symulacje te będą w sposób wyraźny różniły się od naszego rzeczywistego-fizycznego wszechświata. Jeśli jednak uda się sprawić, by do tej pory biologiczny-fizyczny człowiek, uzyskał formę czystej informacji, to przeniesienie naszego doświadczenia do jakiegoś symulowanego wszechświata, będzie oznaczało uzyskanie takiego samego uczucia istnienia w tym nowym świecie, jakie odczuwamy teraz, poprzez istnienie w obecnym świecie.
Matematyk Keith Devlin w swoim artykule pt. Will Cantor’s Paradise Ever Be of Practical Use? (Czy raj Cantora będzie można kiedyś wykorzystać praktycznie?) napisał:
Czy badanie nieskończoności - w szczególności hierarchii większych nieskończoności, które odkrył Cantor – będzie miało kiedykolwiek praktyczne zastosowanie? […] Większość prac nad nieskończonością (a dokładniej nieskończonościami) przeprowadzonych w drugiej połowie XX wieku koncentrowała się na właściwościach zbiorów, które czyniły ich moc kardynalną super-nieskończonościami różnych rzędów, takich jak: liczby nieosiągalne, liczby kardynalne Ramseya, liczby kardynalne mierzalne, liczby kardynalne zwarte, liczby kardynalne Woodina, liczby kardynalne super-zwarte i tak dalej. Jak ta praca może znaleźć praktyczne zastosowanie?
Devlin uznał, że choć wydaje mu się to mało prawdopodobne, nie uważa, że jest to niemożliwe:
Chociaż współczesne systemy komputerowe mogą przesiewać ogromne (skończone) ilości danych w stosunkowo krótkim czasie, należy je zaprogramować, a pisanie tych programów (przynajmniej niektórych ich rodzajów) będzie wymagało pewnej struktury na tych dużych zestawach danych. Możliwym miejscem do znalezienia odpowiedniej struktury (struktur) jest nieskończona teoria zbiorów. Innymi słowy, aby opracować odpowiednie struktury, trzeba założyć, że dane są nieskończone. Należy patrzeć na nieskończoność jak na teoretyczne uproszczenie bardzo dużego skończonego zbioru. (Ekonomiści czasami przyjmują podobne uproszczone założenie dotyczące ekonomii).
Jeśli więc w obliczeniowym „Wszechświecie możliwych programów” uda się nam (lub sztucznej inteligencji) zaprogramować wszechświaty-programy, których struktura będzie oparta na teorii zbiorów, to w pewnym sensie te wszechświaty na fundamentalnym poziomie będą opisywalne przez nieskończoności Cantora i „duże liczby kardynalne”.
Jack Copeland i Richard Sylvan zaproponowali też maszyny obliczeniowe oparte na logice dialeteistycznej. Dialeteizm to pogląd, że istnieją stwierdzenia, które są zarówno prawdziwe, jak i fałszywe. Dokładniej, jest to przekonanie, że może istnieć prawdziwe stwierdzenie, którego negacja również jest prawdziwa.
Na ten moment wydaje się, że żaden obiekt materialny nie ma nieskończoności punktów. Faktycznie w ogóle nie ma żadnych punktów. Punkty istnieją w formalnych systemach matematycznych. Materia składa się z cząsteczek, a większość jej wnętrza, to pusta przestrzeń. Trzeba jednak pamiętać o jednym: to, co nie jest logicznie zabronione, jest dozwolone. To, co dziś wydaje się niedorzeczne, jutro może być oczywistością. W końcu zarówno teoria względności, jak i mechanika kwantowa kryją w sobie paradoksy, które są skrajnymi naruszeniami zdrowego rozsądku, ale większość uczonych uznaje je za prawdziwe w świecie fizycznym. Być może więc kiedyś naukowcy odkryją, że Natura wie wszystko o nieskończonościach Cantora i paradoksach Banacha-Tarskiego. Być może dowód na to kryje się na poziomach wykraczających poza mechanikę kwantową czy teorię superstrun. Teraz nie jesteśmy jeszcze w stanie tego zrozumieć i być może nigdy nam się to nie uda. Ale ostatecznie nie można tego wykluczyć.
https://zmianynaziemi.pl/wiadomosc/nauk ... tycznych-w
